Corso di laurea in Informatica

L’insegnamento prevede la conoscenza dei contenuti di matematica di base forniti dalla scuola secondaria di secondo grado. In particolare, a livello di conoscenze e comprensione in ingresso lo studente dovrà:

• conoscere i concetti di base sulla retta, sia dal punto di vista della geometria sintetica sia della geometria analitica, con particolare riferimento al concetto di pendenza;
• conoscere le funzioni quadratiche e le loro proprietà algebriche e grafiche;
• ricordare le proprietà delle potenze e dei logaritmi e conoscere i grafici delle funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche;
• conoscere gli elementi essenziali di trigonometria (misure degli angoli in radianti, grafici delle funzioni circolari);
• conoscere i concetti di dominio, immagine, zeri, segno e monotonia per funzioni reali di una variabile reale. Inoltre, come applicazione di conoscenza e comprensione, lo studente dovrà saper:
• determinare l’equazione della retta passante per un punto ed avente pendenza assegnata e l’equazione della retta passante per due punti;
• determinare l’equazione di una retta a partire dal suo grafico (calcolo di pendenza e intercetta);
• tracciare il grafico di una funzione lineare e determinare per via grafica dominio, immagine, zeri e segno, monotonia;
• tracciare il grafico di una funzione quadratica e determinare per via grafica dominio, immagine, zeri e segno, monotonia;
• riconoscere come varia la retta tangente al grafico di una funzione quadratica in un suo punto, anche in relazione alla concavità della funzione;
• risolvere equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, anche per via grafica;
• tracciare il grafico di funzioni potenza xa, con a intero positivo o negativo, e determinarne per via grafica dominio, immagine, simmetrie, zeri e segno, monotonia, massimi e minimi;
• tracciare il grafico di funzioni del tipo a^x o log_a x, con a positivo, e determinarne per via grafica dominio, immagine, zeri e segno, monotonia;
• risolvere equazioni e disequazioni del tipo a^x=b, a^x>b, a^x <b, log_a x=b, log_a x>b e log_a x<b;
• trasformare la misura di un angolo da gradi a radianti e viceversa;
• tracciare il grafico delle funzioni circolari;
• risolvere equazioni del tipo sin x =b e cos x=b;
• determinare dominio, immagine, zeri e segno, monotonia di una funzione a partire dal suo grafico.
  Insegnamenti propedeutici (forniscono le competenze attese in ingresso): i prerequisiti richiesti potranno essere recuperati attraverso il Corso di Riallineamento di Matematica presente sulla Piattaforma Orient@mente.

L'insegnamento ha lo scopo di presentare le nozioni di base su funzioni, grafici e loro trasformazioni, di introdurre i concetti di derivata e di integrale definito e di illustrare l’utilizzo di tecniche di tipo analitico nello studio di fenomeni discreti. Si tratta di argomenti indispensabili per la formazione dei laureati in Informatica (classe L-31). L’insegnamento concorre agli obiettivi formativi dell'area Matematico-Fisica del corso di Laurea in Informatica, fornendo conoscenze relative ai concetti ed agli strumenti matematici e metodologici fondamentali necessari per descrivere, schematizzare e interpretare i principali aspetti della realtà che ci circonda. In particolare, l'insegnamento si inoltre propone di accrescere le capacità di comprensione degli studenti/esse e di consentire loro di acquisire un modo rigoroso ed analitico di ragionare e affrontare nuovi problemi. La significativa presenza di teoremi, molti dei quali con dimostrazione, ha l’obiettivo di rafforzare nello studente/essa le attitudini logico-deduttive apprese nel corso di Matematica discreta e Logica.

Conoscenza e comprensione. Alla fine di questo insegnamento lo studente/essa saprà:

• riconoscere i grafici e le proprietà asintotiche delle funzioni elementari;
• ricordare il significato intuitivo e la definizione di limite (sia nel caso continuo, sia nel caso discreto) ed enunciare e dimostrare alcuni risultati fondamentali sui limiti;
• ricordare la definizione di funzione continua ed enunciare i principali risultati relativi alle funzioni continue;
• confrontare le diverse crescite di una funzione, ricordare le definizioni dei simboli di Landau ed utilizzarli nella discussione della complessità di un algoritmo;
• ricordare la definizione di successione geometrica e discuterne il comportamento asintotico e le proprietà qualitative;
• riconoscere una successione definita per ricorrenza e discutere la stabilità dell’equilibrio di una successione per ricorrenza lineare del primo ordine;
• ricordare la definizione di derivata di una funzione in un punto e le sue interpretazioni applicative (pendenza, velocità istantanea, tasso istantaneo di variazione);
• ricordare l’espressione della derivata delle funzioni elementari e le regole di derivazione;
• ricordare la definizione di primitiva di una funzione ed illustrare il legame tra diverse primitive della stessa funzione su un intervallo;
• enunciare il Teorema di Lagrange ed illustrarne le sue interpretazioni cinematica e geometrica e le sue principali;
• enunciare e dimostrare i test di monotonia e convessità;
• ricordare l’espressione dei polinomi di Taylor di una funzione in un punto e i polinomi di Mac-Laurin delle funzioni elementari;
• enunciare e dimostrare il Teorema di esistenza degli zeri ed il Teorema sulla convergenza del metodo di Newton;
• descrivere e confrontare i metodi di bisezione e di Newton per la risoluzione approssimata di un’equazione;
• ricordare la definizione di integrale definito di una funzione su un intervallo e le sue interpretazioni in termini di lavoro, spostamento netto, area di regioni piane, valor medio;
• ricordare la formula del punto medio per il calcolo approssimato di un integrale definito e valutare l’errore commesso nell’approssimazione;
• enunciare e dimostrare il Teorema di Torricelli-Barrow ed il Teorema fondamentale del calcolo;
• ricordare la definizione di integrale improprio ed enunciare alcuni criteri di convergenza;
• ricordare la definizione di serie ed enunciare alcuni criteri di convergenza;
• ricordare la definizione di serie geometrica e le sue applicazioni e discuterne la convergenza
• discutere il legame tra integrali impropri e serie

Applicare conoscenza e comprensione. Alla fine di questo insegnamento lo studente/essa avrà sviluppato capacità di lavorare sia su aspetti grafici sia su aspetti di calcolo, approssimato o esatto. In particolare, a livello di grafici saprà:

• dedurre dal grafico di una funzione informazioni qualitative e quantitative sulla funzione stessa (dominio, immagine, monotonia, zeri, segno, limiti);
• ottenere dal grafico di una funzione il grafico di nuove funzioni, mediante trasformazioni geometriche o mediante l’uso delle proprietà delle funzioni composte;
• tracciare il grafico della derivata di una funzione a partire dal grafico della funzione stessa, analizzando in modo critico i legami tra una funzione e la sua derivata;
• interpretare il grafico della numerosità di una popolazione in funzione del tempo e tracciare da esso il grafico del tasso di crescita in funzione del tempo;
• tracciare il grafico della velocità di un oggetto che si muove di moto rettilineo, a partire dal grafico della sua posizione;
• tracciare il grafico della posizione di un oggetto che si muove di moto rettilineo, a partire dal grafico della sua velocità e dalla posizione all’istante iniziale;
• discutere la risolubilità di un’equazione, mediante il confronto tra grafici.

A livello di calcolo approssimato saprà:

• determinare l’approssimazione di una funzione in un punto mediante un polinomio di Taylor e utilizzarla per approssimare i valori della funzione, stimandone l’errore commesso
• eseguire ed implementare l’algoritmo di bisezione e lo schema ricorsivo del metodo di Newton per stimare le soluzioni di un’equazione;
• calcolare in modo approssimato integrali definiti utilizzando la formula del punto medio, sia a partire dall’espressione esplicita della funzione integranda, sia a partire dal suo grafico, stimando l’errore commesso

A livello di calcolo esatto saprà:

• calcolare la derivata di una funzione;
• determinare l’approssimazione di una funzione in un punto mediante un polinomio di Taylor;
• calcolare le primitive di funzioni e integrali definiti, in casi immediati;
• determinare la somma di una serie geometrica, anche in funzione di eventuali parametri.

Inoltre, lo studente/essa saprà:

• discutere la convergenza di un integrale improprio o di una serie, utilizzando in modo opportuno i criteri di convergenza;
• interpretare e rielaborare grafici qualitativi e dati quantitativi di fenomeni di tipo fisico (cinematica del punto) o biologico (popolazioni e loro dinamica). 

Autonomia di giudizio. Alla fine di questo insegnamento lo studente/essa saprà:

• riconoscere ed individuare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni;
• collegare e commentare criticamente i principali risultati teorici illustrati nel corso dell’insegnamento, individuando i legami che tra essi intercorrono.

1. Funzioni, grafici e modelli 1.1. Funzioni elementari e loro grafici 1.2. Trasformazioni geometriche di grafici 1.3. Grafici di funzioni composte

2. Il concetto di limite 2.1. Il concetto di limite nel caso continuo (limite di funzioni) 2.2. Il concetto di limite nel caso discreto (limite di successioni) 2.3. Principali risultati teorici sui limiti 2.4. Successioni definite per ricorrenza 2.5. Crescite e confronti di crescite: i simboli di Landau

3. Calcolo differenziale 3.1. Derivata di una funzione in un punto 3.2. Funzione derivata e funzioni primitive; relazioni tra una funzione e la sua derivata o le sue primitive 3.3. Derivata e monotonia; derivata e convessità. 3.4. Approssimazione locale di funzioni mediante polinomi

4. Risoluzione approssimata di equazioni 4.1. Il Teorema di esistenza degli zeri ed il metodo di bisezione 4.2. Il metodo di Newton

5. Calcolo integrale 5.1. Integrale definito di una funzione su un intervallo 5.2. Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale 5.3. Teorema di Torricelli-Barrow 5.4. Integrali impropri

6. Serie numeriche 6.1. La serie geometrica 6.2. Le serie armoniche generalizzate 6.3. Definizioni e risultati teorici sulle serie 6.4. Confronto tra serie ed integrali impropri

Le modalità di insegnamento comprendono: lezioni (48 ore) ed esercitazioni (30 ore) frontali, apprendimento attivo in aula e a distanza.

• Lezioni frontali e attività in aula: lezioni frontali eventualmente supportate dall’uso di strumenti di videoscrittura e di software di visualizzazione dinamica; attività ed esercitazioni in aula con eventuale partecipazione degli studenti (svolgimento di esercizi, discussioni, gruppi di lavoro).
• Attività e materiale online (Piattaforma Moodle): calendario delle lezioni e delle esercitazioni; registrazione delle lezioni svolte in modalità asincrona negli anni precedenti; quiz ed assegnazioni per l'apprendimento e l'autovalutazione.

L’insegnamento, con le sue modalità ed attività, contribuisce a formare e consolidare le seguenti competenze trasversali: gestione del tempo, attraverso lo svolgimento di prove di autovalutazione informatizzate aventi tempo stabilito; corretta attribuzione causale di successi ed insuccessi, attraverso lo svolgimento di prove di autovalutazione con feedback da parte del tutor o dei docenti.

L'esame consiste in tre prove in modalità informatizzata (tutte obbligatorie per tutti gli studenti, indipendentemente dall’anno accademico di iscrizione). Durante le prove non è consentito l'uso di strumenti elettronici e non è permesso consultare testi o appunti. Si può utilizzare la calcolatrice solamente durante la terza prova. 

Prima prova (quiz preliminare) Questa prova consiste nella risposta a cinque domande a scelta multipla, che hanno l’obiettivo di verificare le conoscenze di base dello studente. Per superare la prova occorre rispondere in modo corretto ad almeno 4 domande su 5. L'esito della prova è superato o non superato; chi non supera la prova non può accedere alle prove successive. 

Seconda prova (teoria) Questa prova verte sugli argomenti trattati a lezione ed esercitazioni e mira anche a valutare le conoscenze di definizioni, enunciati e dimostrazioni di teoremi, nonché le capacità logico-deduttive. La prova è valutata in trentesimi; possono accedere alla terza prova gli studenti che realizzano almeno 15/30.

Terza prova (esercizi) Questa prova prevede la risoluzione di un certo numero di esercizi, in cui lo studente deve dimostrare di saper applicare le sue conoscenze in problemi strutturati. La prova è valutata in trentesimi; per superarla occorre realizzare almeno 18/30.

Il punteggio complessivo dell'esame è la media dei punteggi ottenuti nella seconda e terza prova; l'esame è superato se questa media è almeno 18/30. Il risultato della prima prova superata non influisce nel punteggio finale dell'esame.

Attività di tutorato. Durante il tutorato gli studenti/esse possono svolgere autonomamente gli esercizi suggeriti; il tutore, uno studente/essa della laurea in Matematica, è a disposizione per aiutare nella risoluzione e per fornire chiarimenti e spiegazioni.