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Oggetto:
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Analisi Matematica

Oggetto:

Mathematical Analysis

Oggetto:

Anno accademico 2024/2025

Codice attività didattica
MFN0570
Docenti
Alberto Boscaggin (Corso B)
Joerg Seiler (Corso C)
Nicola Soave (Corso A)
Irene De Blasi (Corso A)
Da Assegnare (Corso B)
Corso di studio
[008707] Laurea in Informatica
Anno
1° anno
Periodo
Secondo semestre
Tipologia
Di base
Crediti/Valenza
9 CFU - Numero di ore - Number of hours: 48 (in aula) + 30 (esercitazioni)
SSD attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Scritto
Tipologia unità didattica
corso
Prerequisiti

L’insegnamento prevede la conoscenza dei contenuti di matematica di base forniti dalla scuola secondaria di secondo grado. In particolare, a livello di conoscenze e comprensione in ingresso lo studente dovrà:
  • conoscere i concetti di base sulla retta, sia dal punto di vista della geometria sintetica sia della geometria analitica, con particolare riferimento al concetto di pendenza;
  • conoscere le funzioni quadratiche e le loro proprietà algebriche e grafiche;
  • ricordare le proprietà delle potenze e dei logaritmi e conoscere i grafici delle funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche;
  • conoscere gli elementi essenziali di trigonometria (misure degli angoli in radianti, grafici delle funzioni circolari);
  • conoscere i concetti di dominio, immagine, zeri, segno e monotonia per funzioni reali di una variabile reale. Inoltre, come applicazione di conoscenza e comprensione, lo studente dovrà saper:
  • determinare l’equazione della retta passante per un punto ed avente pendenza assegnata e l’equazione della retta passante per due punti;
  • determinare l’equazione di una retta a partire dal suo grafico (calcolo di pendenza e intercetta);
  • tracciare il grafico di una funzione lineare e determinare per via grafica dominio, immagine, zeri e segno, monotonia;
  • tracciare il grafico di una funzione quadratica e determinare per via grafica dominio, immagine, zeri e segno, monotonia;
  • riconoscere come varia la retta tangente al grafico di una funzione quadratica in un suo punto, anche in relazione alla concavità della funzione;
  • risolvere equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, anche per via grafica;
  • tracciare il grafico di funzioni potenza xa, con a intero positivo o negativo, e determinarne per via grafica dominio, immagine, simmetrie, zeri e segno, monotonia, massimi e minimi;
  • tracciare il grafico di funzioni del tipo a^x o log_a x, con a positivo, e determinarne per via grafica dominio, immagine, zeri e segno, monotonia;
  • risolvere equazioni e disequazioni del tipo a^x=b, a^x>b, a^x <b, log_a x=b, log_a x>b e log_a x<b;
  • trasformare la misura di un angolo da gradi a radianti e viceversa;
  • tracciare il grafico delle funzioni circolari;
  • risolvere equazioni del tipo sin x =b e cos x=b;
  • determinare dominio, immagine, zeri e segno, monotonia di una funzione a partire dal suo grafico.
    Insegnamenti propedeutici (forniscono le competenze attese in ingresso): i prerequisiti richiesti potranno essere recuperati attraverso il Corso di Riallineamento di Matematica presente sulla Piattaforma Orient@mente.
The course includes the knowledge of basic mathematical contents provided by secondary school. In particular, at the level of knowledge and understanding, the student must:
  • know the basic concepts on the line, both from the point of view of synthetic geometry and analytical geometry, focusing on the concept of slope;
  • know the quadratic functions and their algebraic and graphic properties;
  • remember the properties of the powers and the logarithms and know the graphs of the power, exponential and logarithmic functions;
  • know the essential elements of trigonometry (measurements of angles in radians, graphs of circular functions);
  • know the concepts of domain, image, zeros, sign and monotony for real functions of a real variable. Furthermore, as an application of knowledge and understanding, the student must know:
  • determine the equation of the straight line passing through a point and having assigned slope and the equation of the straight line passing through two points;
  • determine the equation of a line starting from its graph (slope and intercept calculation);
  • draw the graph of a linear function and determine graphically the domain, image, zeros and sign, monotonicity;
  • draw the graph of a quadratic function and determine graphically the domain, image, zeros and sign, monotonicity;
  • recognize how the tangent line changes to the graph of a quadratic function in one of its points, also in relation to the concavity of the function;
  • solve equations and inequalities of first and second degree, also by graphic means;
  • draw the graph of power xa functions, with a positive or negative integer, and determine the graphical domain, image, symmetries, zeros and sign, monotonicity, maxima and minima;
  • draw the graph of functions of the type a^x or loga x, with a positive, and determine its graphical domain, image, zeros and sign, monotonicity;
  • solve equations and inequalities of the type a^x = b, a^x> b, a^x <b, log_a x = b, log_a x> b and log_a x <b;
  • transform the measurement of an angle from degrees to radians and vice versa;
  • draw the graph of the circular functions;
  • solve equations of the type sin x = b and cos x = b;
  • determine domain, image, zeros and sign, monotonicity of a function from its graph.
    Preparatory Courses (providing the expected entry skills): the required prerequisites can be retrieved through the Mathematics Realignment Course on the Orient @ mente platform.
  • Oggetto:

    Sommario insegnamento

    Oggetto:

    Avvisi

    DSA o Disabilità: Sostegno e Accoglienza in UniTO e supporto in sede di Esame
    Oggetto:

    Obiettivi formativi

    L'insegnamento ha lo scopo di presentare le nozioni di base su funzioni, grafici e loro trasformazioni, di introdurre i concetti di derivata e di integrale definito e di illustrare l’utilizzo di tecniche di tipo analitico nello studio di fenomeni discreti. Si tratta di argomenti indispensabili per la formazione dei laureati in Informatica (classe L-31). L’insegnamento concorre agli obiettivi formativi dell'area Matematico-Fisica del corso di Laurea in Informatica, fornendo conoscenze relative ai concetti ed agli strumenti matematici e metodologici fondamentali necessari per descrivere, schematizzare e interpretare i principali aspetti della realtà che ci circonda. In particolare, l'insegnamento si inoltre propone di accrescere le capacità di comprensione degli studenti/esse e di consentire loro di acquisire un modo rigoroso ed analitico di ragionare e affrontare nuovi problemi. La significativa presenza di teoremi, molti dei quali con dimostrazione, ha l’obiettivo di rafforzare nello studente/essa le attitudini logico-deduttive apprese nel corso di Matematica discreta e Logica.

    The aim of the course is to present the basic notions of functions, graphs and their transformations, to introduce the concepts of derivative and definite integral and to illustrate the use of analytical techniques in the study of discrete phenomena. These are essential topics for the education of graduates in computer science (class L-31). The teaching contributes to the training objectives of the Mathematical-Physical area of the Degree in Computer Science, providing knowledge on the fundamental mathematical and methodological concepts and tools necessary to describe, schematize and interpret the main aspects of the reality that surrounds us. In particular, the teaching also aims to increase students' comprehension skills and to enable them to acquire a rigorous and analytical way of reasoning and tackling new problems. The significant presence of theorems, many of them with demonstration, aims to reinforce the logical and deductive attitudes learned in the Discrete and Logic Mathematics course. .

    Oggetto:

    Risultati dell'apprendimento attesi

    Conoscenza e comprensione. Alla fine di questo insegnamento lo studente/essa saprà:

    • riconoscere i grafici e le proprietà asintotiche delle funzioni elementari;
    • ricordare il significato intuitivo e la definizione di limite (sia nel caso continuo, sia nel caso discreto) ed enunciare e dimostrare alcuni risultati fondamentali sui limiti;
    • ricordare la definizione di funzione continua ed enunciare i principali risultati relativi alle funzioni continue;
    • confrontare le diverse crescite di una funzione, ricordare le definizioni dei simboli di Landau ed utilizzarli nella discussione della complessità di un algoritmo;
    • ricordare la definizione di successione geometrica e discuterne il comportamento asintotico e le proprietà qualitative;
    • riconoscere una successione definita per ricorrenza e discutere la stabilità dell’equilibrio di una successione per ricorrenza lineare del primo ordine;
    • ricordare la definizione di derivata di una funzione in un punto e le sue interpretazioni applicative (pendenza, velocità istantanea, tasso istantaneo di variazione);
    • ricordare l’espressione della derivata delle funzioni elementari e le regole di derivazione;
    • ricordare la definizione di primitiva di una funzione ed illustrare il legame tra diverse primitive della stessa funzione su un intervallo;
    • enunciare il Teorema di Lagrange ed illustrarne le sue interpretazioni cinematica e geometrica e le sue principali;
    • enunciare e dimostrare i test di monotonia e convessità;
    • ricordare l’espressione dei polinomi di Taylor di una funzione in un punto e i polinomi di Mac-Laurin delle funzioni elementari;
    • enunciare e dimostrare il Teorema di esistenza degli zeri ed il Teorema sulla convergenza del metodo di Newton;
    • descrivere e confrontare i metodi di bisezione e di Newton per la risoluzione approssimata di un’equazione;
    • ricordare la definizione di integrale definito di una funzione su un intervallo e le sue interpretazioni in termini di lavoro, spostamento netto, area di regioni piane, valor medio;
    • ricordare la formula del punto medio per il calcolo approssimato di un integrale definito e valutare l’errore commesso nell’approssimazione;
    • enunciare e dimostrare il Teorema di Torricelli-Barrow ed il Teorema fondamentale del calcolo;
    • ricordare la definizione di integrale improprio ed enunciare alcuni criteri di convergenza;
    • ricordare la definizione di serie ed enunciare alcuni criteri di convergenza;
    • ricordare la definizione di serie geometrica e le sue applicazioni e discuterne la convergenza
    • discutere il legame tra integrali impropri e serie

    Applicare conoscenza e comprensione. Alla fine di questo insegnamento lo studente/essa avrà sviluppato capacità di lavorare sia su aspetti grafici sia su aspetti di calcolo, approssimato o esatto. In particolare, a livello di grafici saprà:

    • dedurre dal grafico di una funzione informazioni qualitative e quantitative sulla funzione stessa (dominio, immagine, monotonia, zeri, segno, limiti);
    • ottenere dal grafico di una funzione il grafico di nuove funzioni, mediante trasformazioni geometriche o mediante l’uso delle proprietà delle funzioni composte;
    • tracciare il grafico della derivata di una funzione a partire dal grafico della funzione stessa, analizzando in modo critico i legami tra una funzione e la sua derivata;
    • interpretare il grafico della numerosità di una popolazione in funzione del tempo e tracciare da esso il grafico del tasso di crescita in funzione del tempo;
    • tracciare il grafico della velocità di un oggetto che si muove di moto rettilineo, a partire dal grafico della sua posizione;
    • tracciare il grafico della posizione di un oggetto che si muove di moto rettilineo, a partire dal grafico della sua velocità e dalla posizione all’istante iniziale;
    • discutere la risolubilità di un’equazione, mediante il confronto tra grafici.

    A livello di calcolo approssimato saprà:

    • determinare l’approssimazione di una funzione in un punto mediante un polinomio di Taylor e utilizzarla per approssimare i valori della funzione, stimandone l’errore commesso
    • eseguire ed implementare l’algoritmo di bisezione e lo schema ricorsivo del metodo di Newton per stimare le soluzioni di un’equazione;
    • calcolare in modo approssimato integrali definiti utilizzando la formula del punto medio, sia a partire dall’espressione esplicita della funzione integranda, sia a partire dal suo grafico, stimando l’errore commesso

    A livello di calcolo esatto saprà:

    • calcolare la derivata di una funzione;
    • determinare l’approssimazione di una funzione in un punto mediante un polinomio di Taylor;
    • calcolare le primitive di funzioni e integrali definiti, in casi immediati;
    • determinare la somma di una serie geometrica, anche in funzione di eventuali parametri.

    Inoltre, lo studente/essa saprà:

    • discutere la convergenza di un integrale improprio o di una serie, utilizzando in modo opportuno i criteri di convergenza;
    • interpretare e rielaborare grafici qualitativi e dati quantitativi di fenomeni di tipo fisico (cinematica del punto) o biologico (popolazioni e loro dinamica). 

    Autonomia di giudizio. Alla fine di questo insegnamento lo studente/essa saprà:

    • riconoscere ed individuare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni;
    • collegare e commentare criticamente i principali risultati teorici illustrati nel corso dell’insegnamento, individuando i legami che tra essi intercorrono.

    Knowledge and understanding. At the end of this course the students will be able to:

    • recognize graphs and asymptotic properties of elementary functions;
    • recall the intuitive meaning and the precise definition of limit (both in the continuous and discrete case) and state and prove some fundamental results on limits;
    • recall the definition of continuous function and state the main results relating to continuous functions;
    • compare the different growths of a function, recall the definition of the Landau symbols and use them in the discussion of the complexity of an algorithm;
    • recall the definition of geometric sequence and discuss its asymptotic behavior and qualitative properties;
    • recognize a sequence defined by recurrence and discuss the stability of the equilibrium of a sequence by linear recurrence of the first order;
    • recall the definition of the derivative of a function in a point and its practical interpretations (slope, instantaneous speed, instantaneous rate of variation);
    • recall the expression of the derivative of elementary functions and the rules of derivation;
    • recall the definition of primitive of a function and illustrate the link between different primitives of the same function on an interval;
    • state Lagrange's theorem and illustrate its kinematic and geometric interpretations and its main consequences (link between the monotonicity of a function and the sign of its derivative, characterization of functions with a derivative everywhere zero on an interval, link between different primitives of the same function on an interval);
    • state and demonstrate the tests of monotonicity and convexity;
    • recall the expression of the Taylor polynomials of a function in a point and the Mac-Laurin polynomials of elementary functions;
    • state and prove the existence of zeros theorem and the convergence theorem of Newton's method;
    • describe and compare the methods of bisection and Newton for the approximate resolution of an equation;
    • recall the definition of definite integral of a function over an interval and its interpretations in terms of work, net displacement, area of flat regions, mean value;
    • recall the midpoint formula for the approximate calculation of a definite integral and evaluate the error made in the approximation;
    • state and prove the Theorem of Torricelli-Barrow and the Fundamental Theorem of Calculus;
    • recall the definition of improper integral and state some convergence criteria;
    • recall the definition of series and state some convergence criteria;
    • recall the definition of the geometric series and its applications and discuss its convergence;
    • discuss the link between improper integrals and series

    Apply knowledge and understanding. At the end of this course the students will have developed the ability to work both on various aspects of graphs of functions and on various aspects of calculus, approximate or exact. In particular, at the level of graphs they will be able to:

    • deduce from the graph of a function qualitative and quantitative information on the function itself (domain, image, monotonicity, zeros, sign, limits);
    • obtain from the graph of a function the graph of new functions, through geometric transformations or through the use of the properties of the compound functions;
    • draw the graph of the derivative of a function starting from the graph of the function itself, critically analyzing the links between a function and its derivative;
    • interpret the graph of the number of a population as a function of time and draw from it the graph of the growth rate as a function of time;
    • plot the speed graph of an object moving on a straight line, starting from the graph of its position;
    • draw the graph of the position of an object moving on a straight line, starting from the graph of its speed and from the position at the initial instant;
    • discuss the solvability of an equation, by comparing graphs.
    • At the level of approximate calculus they will be able to:
    • determine the approximation of a function in a point using a Taylor polynomial and use it to approximate the values of the function, estimating the error committed;
    • perform and implement the bisection algorithm and the recursive scheme of Newton's method to estimate the solutions f an equation;
    • approximate definite integrals using the midpoint formula, both starting from the explicit expression of the integrand function and starting from its graph, estimating the error committed.

    At the level of approximate calculus they will be able to:

    • calculate the derivative of a function;
    • determine the approximation of a function in a point using a Taylor polynomial;
    • calculate the primitive of functions and calculate definite integrals in immediate cases;
    • determine the sum of a geometric series, also as a function of any parameters.

    Moreover, the students will be able to:

    • discuss the convergence of an improper integral or of a series, making appropriate use of the convergence criteria;
    • interpret and re-elaborate qualitative graphs and quantitative data of physical (point kinematics) or biological (populations and their dynamics) phenomena.

    Autonomia di giudizio. At the end of this course the students will be able to:

    • recognize and identify logical arguments with a clear identification of assumptions and conclusions;
    • connect and critically comment on the main theoretical results illustrated during the course, identifying the links between them.
    Oggetto:

    Programma

    1. Funzioni, grafici e modelli 1.1. Funzioni elementari e loro grafici 1.2. Trasformazioni geometriche di grafici 1.3. Grafici di funzioni composte

    2. Il concetto di limite 2.1. Il concetto di limite nel caso continuo (limite di funzioni) 2.2. Il concetto di limite nel caso discreto (limite di successioni) 2.3. Principali risultati teorici sui limiti 2.4. Successioni definite per ricorrenza 2.5. Crescite e confronti di crescite: i simboli di Landau

    3. Calcolo differenziale 3.1. Derivata di una funzione in un punto 3.2. Funzione derivata e funzioni primitive; relazioni tra una funzione e la sua derivata o le sue primitive 3.3. Derivata e monotonia; derivata e convessità. 3.4. Approssimazione locale di funzioni mediante polinomi

    4. Risoluzione approssimata di equazioni 4.1. Il Teorema di esistenza degli zeri ed il metodo di bisezione 4.2. Il metodo di Newton

    5. Calcolo integrale 5.1. Integrale definito di una funzione su un intervallo 5.2. Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale 5.3. Teorema di Torricelli-Barrow 5.4. Integrali impropri

    6. Serie numeriche 6.1. La serie geometrica 6.2. Le serie armoniche generalizzate 6.3. Definizioni e risultati teorici sulle serie 6.4. Confronto tra serie ed integrali impropri

    1. Functions, graphs and models 1.1. Elementary functions and their graphs 1.2. Geometric transformations of graphs 1.3. Graphs of composition of functions

    2. The concept of limit 2.1. The concept of limit in the continuous case (limit of functions) 2.2. The concept of limit in the discrete case (limit of sequences) 2.3. Main theoretical results on limits 2.4. Sequences defined by recurrence 2.5. Growth and comparison of growths: the symbols of Landau

    3. Differential calculus 3.1. Derivative of a function at a point 3.2. Derivative function and primitive functions; relations between a function and its derivative or its primitives 3.3. Derivative and monotony; derivative and convexity 3.4. Local approximation of functions by polynomials

    4. Approximate resolution of equations 4.1. The Theorem of existence of the zeros and the method of bisection 4.2. Newton's method

    5. Integrals 5.1. Definite integral of a function over an interval 5.2. Fundamental Theorem of Calculus 5.3. Torricelli-Barrow theorem 5.4. Improper integrals

    6. Numerical series 6.1. The geometric series 6.2. The generalized harmonic series 6.3. Definitions and theoretical results on the series 6.4. Comparison between series and improper integrals .

    Oggetto:

    Modalità di insegnamento

    Le modalità di insegnamento comprendono: lezioni (48 ore) ed esercitazioni (30 ore) frontali, apprendimento attivo in aula e a distanza.

    • Lezioni frontali e attività in aula: lezioni frontali eventualmente supportate dall’uso di strumenti di videoscrittura e di software di visualizzazione dinamica; attività ed esercitazioni in aula con eventuale partecipazione degli studenti (svolgimento di esercizi, discussioni, gruppi di lavoro).
    • Attività e materiale online (Piattaforma Moodle): calendario delle lezioni e delle esercitazioni; registrazione delle lezioni svolte in modalità asincrona negli anni precedenti; quiz ed assegnazioni per l'apprendimento e l'autovalutazione.

    L’insegnamento, con le sue modalità ed attività, contribuisce a formare e consolidare le seguenti competenze trasversali: gestione del tempo, attraverso lo svolgimento di prove di autovalutazione informatizzate aventi tempo stabilito; corretta attribuzione causale di successi ed insuccessi, attraverso lo svolgimento di prove di autovalutazione con feedback da parte del tutor o dei docenti.

    The teaching methods include: frontal lessons (48 hours) and exercises (30 hours), active learning in the classroom and online.

    • Frontal lessons and classroom activities: frontal lessons possibly supported by the use of word processing tools and dynamic visualization software; activities and exercises in the classroom with the possible participation of students (exercises, discussions, work groups).
    • Online activities and material (Moodle platform): calendar of lessons and exercises; registration of lessons held in asynchronous mode in previous years; quizzes and assignments for learning and self-assessment.

    The course, with its modalities and activities, contributes to forming and consolidating the following transversal skills: time management, through the carrying out of computerized self-assessment tests with a fixed time; correct causal attribution of successes and failures, by carrying out self-assessment tests with feedback from the tutor or teachers.

     

    Oggetto:

    Modalità di verifica dell'apprendimento

    L'esame consiste in tre prove in modalità informatizzata (tutte obbligatorie per tutti gli studenti, indipendentemente dall’anno accademico di iscrizione). Durante le prove non è consentito l'uso di strumenti elettronici e non è permesso consultare testi o appunti. Si può utilizzare la calcolatrice solamente durante la terza prova. 

    Prima prova (quiz preliminare) Questa prova consiste nella risposta a cinque domande a scelta multipla, che hanno l’obiettivo di verificare le conoscenze di base dello studente. Per superare la prova occorre rispondere in modo corretto ad almeno 4 domande su 5. L'esito della prova è superato o non superato; chi non supera la prova non può accedere alle prove successive. 

    Seconda prova (teoria) Questa prova verte sugli argomenti trattati a lezione ed esercitazioni e mira anche a valutare le conoscenze di definizioni, enunciati e dimostrazioni di teoremi, nonché le capacità logico-deduttive. La prova è valutata in trentesimi; possono accedere alla terza prova gli studenti che realizzano almeno 16/30.

    Terza prova (esercizi) Questa prova prevede la risoluzione di un certo numero di esercizi, in cui lo studente deve dimostrare di saper applicare le sue conoscenze in problemi strutturati. La prova è valutata in trentesimi; per superarla occorre realizzare almeno 16/30.

    Il punteggio complessivo dell'esame è la media dei punteggi ottenuti nella seconda e terza prova; l'esame è superato se questa media è almeno 18/30. Il risultato della prima prova superata non influisce nel punteggio finale dell'esame.

    The exam consists of three tests in computerized mode (all mandatory for all students, regardless of the academic year of enrolment). During the tests the use of electronic instruments is not permitted and it is not permitted to consult texts or notes. You can use the calculator only during the third test.

    First test (quiz) This test consists of the answer to five multiple-choice questions, which aim to verify the student's basic knowledge. To pass the test you must answer correctly to at least 4 questions out of 5. The outcome of the test is passed or failed; those who do not pass the test cannot access the subsequent tests.

    Second test (theory) This test focuses on the topics covered in lectures and exercises and also aims to evaluate the knowledge of definitions, statements and theorem demonstrations, as well as logical-deductive skills. The test is evaluated out of thirty; students who achieve at least 16/30 can access the third test.

    Third test (exercises) This test involves the resolution of a certain number of exercises, in which the student must demonstrate that he knows how to apply his knowledge in structured problems. The test is evaluated out of thirty; to pass it you need to achieve at least 16/30.

    The overall score of the exam is the average of the scores obtained in the second and third tests; the exam is passed if this average is at least 18/30. The result of the first test passed does not affect the final exam score.

    Oggetto:

    Attività di supporto

    Attività di tutorato. Durante il tutorato gli studenti/esse possono svolgere autonomamente gli esercizi suggeriti; il tutore, uno studente/essa della laurea in Matematica, è a disposizione per aiutare nella risoluzione e per fornire chiarimenti e spiegazioni. 

    Tutoring activity. During the tutoring, students can independently carry out the suggested exercises; the tutor, a student of the degree in Mathematics, is available to help in the resolution and to provide clarifications and explanations.

    Testi consigliati e bibliografia

    Oggetto:

    W. Dambrosio "Analisi Matematica" © Zanichelli Editore

    M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa "Analisi Matematica 1" © Zanichelli Editore



    Oggetto:
    Ultimo aggiornamento: 20/06/2024 17:02
    Location: https://laurea.informatica.unito.it/robots.html
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